24 统一场论动量公式
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统一场论的静止动量公式
统一场论的基本假设为：
宇宙中任意一个物体 \(o\) 点，相对于我们观察者静止的时候，周围空间总是以物体为中心、以矢量光速、以圆柱状螺旋式向外发散运动。
设想有一个质点 \(o\) 相对于我们观测者静止，周围空间中任意一个空间点 \(p\) ，在零时刻从 \(o\) 点出发，以矢量光速度 \(\vec{c'}\) 沿某一个方向运动，经历了时间 \(t'\) ，在 \(t''\) 时刻到达 \(p\) 点后来所在的位置。
点击展开注解：关于上述变量的命名问题
设想质点 \(o\) 周围空间总共有 \(n\) 条空间点的矢量位移，我们用 \(\vec{r'} = \vec{c'}\ t'\) 表示其中一条的位移量。
我们在 \(o\) 点周围取个适当的立体角 \(\Omega\) ，里面恰巧包含一条空间矢量位移 \(\vec{r'} = \vec{c'}\ t'\)
\[ \begin{equation}\nonumber \vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega} \end{equation} \]
可以反映出 \(o\) 点周围局部地区的空间的运动量。式中的 \(k\) 是比例常数，\(\Omega\) 是一个任意大小的立体角。
点击展开修正：\(\Omega\) 不是任意大小的立体角，而是单位空间矢量位移对应的立体角。
将 \(\vec{L} = k\ \dfrac{\vec{r'}}{\Omega}\) 中 \(\vec{r'}\) 对时间 \(t'\) 求偏导数，可以反映出 \(o\) 点局部地区的运动空间随时间 \(t'\) 的运动程度。
\[ \begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial\vec{L}}{\partial t'} = k\ \dfrac{\partial\vec{r'}}{\partial t'}\ \dfrac{1}{\Omega} = \dfrac{k\ c'}{\Omega} \end{equation} \]
注意 \(\vec{r'} = \vec{c'}\ t'\) 。利用前面质量的定义方程 \(m = \dfrac{k}{\Omega}\) ,
可以把上式改写为统一场论的静止动量公式：
\[ \begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{静}} = m'\ \vec{c'} \end{equation} \]
这里的动量定义方程中把质量用 \(m'\) 表示，是为了区分将要出现的运动质量 \(m\) ，\(\vec{c'}\) 是为了区分将要出现的运动矢量光速 \(\vec{c}\)
\(o\) 点的静止动量反映了 \(o\) 点静止时候周围空间的运动程度。
我们要认识到，\(o\) 点的静止动量是周围的空间点 \(p\) 的运动位移量 \(\vec{r'}\) 随立体角度 \(\Omega\) 、时间 \(t'\) 的变化的变化程度，不随 \(o\) 点和 \(p\) 点之间距离的变化而变化。
所以，我们测量一个物体 \(o\) 点静止动量的大小，不需要考虑 \(o\) 点与周围空间中一个考察点 \(p\) 之间距离，这一点和引力场不一样。当 \(o\) 点运动的时候，运动动量这种情况也是类似的。
运动动量公式
设想 \(s'\) 系相对于 \(s\) 系以匀速度 \(\vec{v}\) 【标量为 \(v\)】沿 \(x\) 轴正方向直线运动。
以上的 \(o\) 点相对于 \(s'\) 系观察者静止，具有静止动量 \(m'\ \vec{c'}\)
前面我们分析过，当 \(o\) 点相对于 \(s\) 系里的观察者以速度 \(\vec{v}\) 运动的时候，静止动量的两部分——质量和矢量光速都要发生变化。
在 \(s'\) 系里，\(o\) 点的静止质量为 \(m'\)，在 \(s\) 系里变成了运动质量 \(m\)
在 \(s'\) 系里，\(o\) 点周围空间点 \(p\) 相对于 \(s'\) 系里观察者的矢量光速为 \(\vec{c'}\)；在 \(s\) 系里，\(o\) 点周围空间点 \(p\) 相对于 \(s\) 系里观察者的矢量光速为 \(\vec{c}\)
\(\vec{c}\) 和 \(\vec{c'}\) 方向不一样，但模是一样的，都是 \(c\) ，也就是：
\[ \begin{equation}\nonumber \vec{c'} \cdot \vec{c'} = \vec{c} \cdot \vec{c} = c^2 \end{equation} \]
详细的证明在第二十二节《解释洛伦兹变换中的光速不变》中的第4小节《光源运动速度 \(\vec{v}\) 和矢量光速 \(\vec{c}\) 之间的关系》。
在 \(s\) 系里，运动动量是不是就可以写成 \(m\ \vec{c}\) ？
明显不行，因为 \(\vec{c}\) 是质点 \(o\) 点周围空间点 \(p\) 相对于 \(s\) 系中观察者的速度，不是相对于质点 \(o\) 点的运动速度。
动量反映的是质点 \(o\) 点周围空间的运动情况，而不是反映观察者周围空间的运动情况。
在 \(s'\) 系里，观察者和质点 \(o\) 点是相对静止的，\(p\) 点相对于质点 \(o\) 点的速度和相对于观察者的速度没有区别。
但是，在 \(s\) 系里是有区别的，因为在 \(s\) 系里质点 \(o\) 点是在以速度 \(\vec{v}\) 相对观察者沿 \(x\) 轴直线运动。
在 \(s\) 系里，\(\vec{c}\) 是 \(p\) 点相对于 \(s\) 系里观察者的速度，\(\vec{c}\) 也是 \(p\) 点相对于质点 \(o\) 点的运动速度【我们用 \(\vec{u}\) 表示】和 \(\vec{v}\) 的叠加，也就是 \(\vec{c} = \vec{u} + \vec{v}\)
所以，在 \(s\) 系里，\(p\) 点相对于 \(o\) 点的运动速度应该是：
\[ \begin{equation}\nonumber \vec{u} = \vec{c} - \vec{v} \end{equation} \]
所以，运动动量可以写为：
\[ \begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{u} = m\ (\vec{c} - \vec{v}) \end{equation} \]
相对论力学、牛顿力学认为物体周围空间的光速运动不存在，也就是 \(\vec{c} = \vec{0}\) ，所以，牛顿力学、相对论的动量方程是
\[ \begin{equation}\nonumber \overrightarrow{p_\text{动}} = m\ \vec{v} \end{equation} \]
也可以说，相对论、牛顿力学的动量 \(m\ \vec{v}\) ，只是统一场论动量公式 \(\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v})\) 中 \(m\ \vec{c}\) 变化的时候的一个变化量。
统一场论动量公式只是把牛顿、相对论动量公式扩展了，包含了物体静止时候周围空间的矢量光速运动，没有完全否定相对论、牛顿力学动量公式。
物体运动时候的动量和静止时候的数量是相等的
将运动动量公式 \(\overrightarrow{p_\text{动}} = m\ (\vec{c} - \vec{v})\) 两边对自身点乘，结果为：
\[ \begin{align} p^2 &= m^2\ (c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2) \nonumber \\ p &= m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \nonumber \end{align} \]
我们应该合理地认为，物体静止时候的静止动量 \(m'\ \vec{c'}\) 的数量 \(m'\ c\) ，和运动时候的运动动量 \(m\ (\vec{c} - \vec{v})\) 的数量 \(m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2}\) 应该是相等的，不同的只是方向。所以，应该有：
\[ \begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation} \]
由于光速不变、光速最大的限制，当物体运动速度 \(\vec{v}\) 很大的时候，接近于光速 \(\vec{c}\) ，\(\vec{v}\) 和 \(\vec{c}\) 之间的夹角 \(\theta\) 也会趋向于零，如果不趋向于零，就有超光速出现。严格的证明如下：
\(s'\) 系相对于 \(s\) 系以匀速度 \(\vec{v}\) 沿 \(x\) 轴【或者 \(x'\) 轴，\(x'\) 轴和 \(x\) 轴相互重合】直线运动。
在 \(s'\) 系里，令物体 \(o\) 点周围空间点 \(p\) 的矢量光速为 \(\vec{c'}\) ，\(c_x'\) 为 \(\vec{c'}\) 在 \(x'\) 轴上的分量，\(\theta'\) 为 \(\vec{c'}\) 和 \(x'\) 轴【或者 \(\vec{c'_x}\) ，因为 \(\vec{c'_x}\) 和 \(x'\) 轴平行】之间的夹角。所以有：
\[ \begin{equation}\nonumber cos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c} \end{equation} \]
\(c_x'\) 为 \(\vec{c_x'}\) 的标量，\(c\) 是 \(\vec{c'}\) 的标量。
在 \(s\) 系里，有：
\[ \begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{c_x}{c} \end{equation} \]
\(\theta\) 为 \(s\) 系里 \(\vec{c}\) 和 \(\vec{c_x}\) 之间的夹角。\(c_x\) 是 \(\vec{c}\) 在 \(x\) 轴上的分量 \(\vec{c_x}\) 的标量。
根据洛伦兹速度变换的逆变换公式：
\[ \begin{equation}\nonumber c_x = \dfrac{c_x' + v}{1 + \dfrac{c_x'\ v}{c^2}} \end{equation} \]
点击展开注解：上述公式的具体推导
加以上的 \(cos\ \theta = \dfrac{c_x}{c}\) ， \(cos\ \theta' = \dfrac{c_x'}{c}\) ，可以导出：
\[ \begin{equation}\nonumber cos\ \theta = \dfrac{cos\ \theta' + \dfrac{v}{c}}{1 + \dfrac{v}{c}\ cos\ \theta'} \end{equation} \]
从上式可以看出，当速度 \(\vec{v}\) 的数量 \(v\) 接近于光速 \(c\) 的时候，\(cos\ \theta\) 接近于 \(1\) ，也就是 \(\theta\) 接近于 \(0\) 。
当运动速度 \(\vec{v}\) 和光速 \(\vec{c}\) 很接近，我们忽略了 \(\vec{v}\) 的数量 \(v\) 和 \(\vec{c}\) 的数量 \(c\) 之间的差别，\(\vec{v}\) 和 \(\vec{c}\) 之间的夹角 \(\theta\) 也趋向于零，结果有：
\(v\approx c\) 的时候，\(\vec{c} \cdot \vec{v} \approx v^2\)【我们如果选择 \(\vec{c} \cdot \vec{v} \approx c^2\) ,结果会出现虚数而没有意义】，结果有：
\[ \begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - v^2} \end{equation} \]
注意，上式中我们虽然忽略了 \(c\) 和 \(v\) 之间的差，但保留了 \(c^2\) 和 \(v^2\) 之间的差。
比如 \(9\) 和 \(8\) 之间的差是 \(1\) ，而 \(9^2\) 和 \(8^2\) 之间的差是 \(17\)，我们只能忽略小的值，保留大的值，这样才合理。
对上式两边除以标量光速 \(c\)，得：
\[ \begin{equation}\nonumber m = \dfrac{m'}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \end{equation} \]
这个式子大家是不是很眼熟？不错，它就是大名鼎鼎的相对论质速公式。
原来物体以速度 \(\vec{v}\) 运动的时候，质量 \(m\) 的增大，是以减少本来的周围运动空间的光速 \(\vec{c}\) 为代价的，动量总的数量仍然是守恒的。
这个就是把动量守恒范围扩大到不同的参考系中，也就是相互运动的观察者，测量同一个物体的动量，总的数量是不变的。
这个哲学思想是-----观察者只能观察运动状态，而不能改变运动状态。
我们再用 \((\vec{c} - \vec{v})\) 的分量形式来分析式
\[ \begin{equation}\nonumber m'\ c = m\ \sqrt{c^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v} + v^2} \end{equation} \]
\((\vec{c} - \vec{v})\) 的三个分量是 \((c_x - v_x), (c_y - v_y), (c_z - v_z)\) ，，，令 \((\vec{c} - \vec{v})\) 的数量为 \(u\) ，则：
\[ \begin{align} u &= \sqrt{(c_x - v_x)^2 + (c_y - v_y)^2 + (c_z - v_z)^2} \nonumber \\ &= \sqrt{c_x^2 + c_y^2 + c_z^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \\ &= \sqrt{c^2 + v^2 - 2\ \vec{c} \cdot \vec{v}} \nonumber \end{align} \]
情况是相同的。
对 \(m' = m\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}\) 两边同时乘以标量光速的平方可以得到相对论的能量方程：
\[ \begin{equation}\nonumber E = m'\ c^2 = m\ c^2\ \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \end{equation} \]
后面还有详细的论证。