27 证明惯性质量等价于引力质量

黄色表示原文中的重点语句; 红色表示 "新增配图" 或者 "对原文细节错误进行修正"; 蓝色表示我自己的一些见解; 绿色表示一些疑问;

牛顿力学认为，惯性质量反映了物体不容易被加速的程度，而引力质量反映了加速别的物体的能力。

在以上的质量为 \(m\) 的 \(o\) 点，相对于我们观察者静止情况下，相距 \(r\) 远的地方如果有一个质量为 \(m'\) 的 \(p\) 点，受到 \(o\) 点的引力 \(\vec{F}\) 的作用，会使 \(p\) 点有一个指向 \(o\) 点加速度 \(-\vec{A}\) ，并且

\[ \begin{align} F &= - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2} \nonumber \\ \vec{F} &= - m'\ \vec{A} \nonumber \end{align} \]

牛顿在没有给出解释的情况下，把式 \(\vec{F} = -m'\ \vec{A}\) 中的惯性质量\(m'\) 和式 \(\vec{F} = - \dfrac{G\ m\ m'}{r^2}\ \vec{e_r}\) 中的引力质量 \(m'\) 等同起来，便有了下式：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ m}{r^2}\ \vec{e_r} \end{equation} \]

\(r\) 是 \(\vec{r}\) 的数量，\(\vec{e_r}\) 是 \(\vec{r}\) 的单位矢量。这个就是人们常说的惯性质量等价于引力质量。

如果我们证明了 \(p\) 点指向 \(o\) 点加速度 \(\vec{A}\) ，等于 \(o\) 点在 \(p\) 点处产生的引力场，就可以证明惯性质量等价于引力质量。

下面我们来给出证明。

前面给出的引力场方程

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ n\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation} \]

中 ，为了便于分析问题，我们令光速运动空间位移矢量 \(\vec{r} = \vec{c}\ t\) 来表示，则引力场方程为：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{\Omega\ r^3} \end{equation} \]

点击展开注解：关于上面两个式子中字母 \(\Omega\) 含义的说明

上面第一个式子 \(\vec{A} = - \dfrac{G\ k\ n\ \vec{r}}{\Omega\ r^3}\) 和 第二个式子 \(\vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{\Omega\ r^3}\) 中的 \(\Omega\) 含义是不同的。前者表示 \(n\) 条空间位移矢量对应的立体角，后者表示单位空间位移矢量对应的立体角。原文中有时会出现 “同一个字母在不同公式中表示不同含义” 这种不严谨的情况，明白其想表达的意思即可。

以上方程中，我们令 \(\vec{r}\) 的数量 \(r\) 不变，只是方向在变化，这样，引力场 \(\vec{A}\) 变成了光速运动空间位移 \(\vec{r}\) 的方向和立体角 \(\Omega\) 之间的对应变化。

\(\Omega\) 是包围 \(o\) 点的高斯球面 \(s = 4 \pi r^2\) 上的一个立体角，在 \(r\) 取固定值的情况下，\(\Omega\) 的大小正比于 \(\vec{r} \cdot \vec{r} = c^2\ t^2\)

点击展开疑问：上面想表达的是不是 \(\Omega\) 的大小正比于 \(s\) ？

上面想表达的是否是：在 \(r\) 取固定值的情况下，\(\Omega\) 的大小正比于 \(s = 4 \pi r^2\) ？

因为 \(\vec{r}\) 的数量 \(r\) 虽然不变，但是，\(\vec{r}\) 是矢量，可以通过垂直于 \(\vec{r}\) 上的一块面积。

所以，有：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{G\ k\ \vec{r}}{c^2\ t^2\ r^3} \end{equation} \]

由于 \(G,\ k,\ c,\ r\) 都是常数，合并常数，得到：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{\vec{r}}{t^2} \end{equation} \]

将 \(\vec{r}\) 和 \(t^2\) 对 \(t\) 两次求导数得：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation} \]

点击展开注解：上式的具体推导过程

对 \(\vec{A} = - \text{常数乘以} \dfrac{\vec{r}}{t^2}\) 中分式的分子和分母分别对 \(t\) 求二阶导，有 $ = $ 和 $ = 2$ ，因此有：

\[ \begin{align} \vec{A} &= - \text{常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r} / dt^2}{d^2t^2 / dt^2} \nonumber \\ &= - \text{常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r} / dt^2}{2} \nonumber \\ &= - \dfrac{\text{常数}}{2}\ \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \nonumber \\ &= - \text{新常数乘以}\ \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \nonumber \end{align} \]

关于高阶导数的相关知识，可以参考 “同济大学《高等数学》（第七版）上册” p26 第二章 导数与微分 第三节 高阶导数。

由于牛顿力学是人类历史上最早诞生的力学体系，所以，以上常数可以设定为 \(1\) ，就如同牛顿第二定理比例常数可以设定为 \(1\) 。所以有：

\[ \begin{equation}\nonumber \vec{A} = - \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} \end{equation} \]

证明完毕。