29 引力场与时空波动方程
黄色表示原文中的重点语句; 红色表示 "新增配图" 或者 "对原文细节错误进行修正"; 蓝色表示我自己的一些见解; 绿色表示一些疑问;
前面指出，物体周围空间以圆柱状螺旋式向四周发散运动，质点外空间点的矢量位移随空间位置变化、又随时间变化。
物理量【这里是质点外的空间点的位移量，简称位矢】随空间位置变化又随时间变化，可以认为具有波动过程。
我们知道，波动和圆柱状螺旋式运动有很大的区别，波动是振动的形式在媒质中的传播，而不像螺旋式运动是质点在空间中位置的移动。但是对于空间这个特殊的东西，两种运动却可以兼容。
一个空间点运动不会有波动效应，但是，一群空间点情况就不一样了。
大家可能记得一个名言：树上没有两片完全相同的树叶，但是，这个对于空间点来说就不成立了。
一个空间点和另外一个空间点绝对没有区别。可以断定，空间的圆柱状螺旋式运动中包含了波动形式。
下面我们由前面的时空同一化方程 \(\vec{r} (t) = \vec{c}\ t = x\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}\) 来推导出时空的波动方程，并且指出和引力场之间的关系。
设想宇宙空间某一处存在一个质点 \(o\) ，相对于我们观察者静止，根据前面的时间物理定义和时空同一化方程，\(o\) 点和观察者的时间 \(t\) 可以用 \(o\) 点周围一个空间点 \(p\) 的位移 \(\vec{r} (t) = \vec{c}\ t = x\ \vec{i} + y\ \vec{j} + z\ \vec{k}\) 来表示。
我们将 \(\vec{r}\) 对时间 \(t\) 求导数，有结果：
\[ \begin{equation}\nonumber \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \vec{c} \end{equation} \]
将上式两边平方，有结果：
\[ \begin{equation}\nonumber \dfrac{d\vec{r}}{dt} \cdot \dfrac{d\vec{r}}{dt} = c^2 = \dfrac{dr}{dt} \cdot \dfrac{dr}{dt} \end{equation} \]
\(c\) 是矢量光速 \(\vec{c}\) 的标量，\(r\) 是 \(\vec{r}\) 的标量。
我们现在来考虑另外一个空间点 \(p'\) , \(p'\) 点在 \(o\) 点周围运动，我们用 \(\vec{L}\) 表示其位移，\(\vec{L}\) 随时间 \(t\) 变化，是时间 \(t\) 的函数，由 \(\vec{r}\) 和 \(t\) 的关系可以断定 \(\vec{L}\) 又是 \(\vec{r}\) 的函数。
我们将空间点 \(p'\) 点的位移 \(\vec{L}\) 对空间位移 \(\vec{r}\) 的数量 \(r\) 两次求导数，有结果：
\[ \begin{align} \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial r^2} &= \dfrac{\partial^2\vec{L}}{c^2\ \partial t^2} \nonumber \\ \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial z^2} &= \dfrac{\partial^2\vec{L}}{c^2\ \partial t^2} \nonumber \end{align} \]
\(r\) 是矢量 \(\vec{r}\) 的数量。以上微分号 \(d\) 已经改为偏微分号 \(\partial\)。
对偏微分方程
\[ \begin{equation}\nonumber \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial t^2} = c^2\ \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial r^2} \end{equation} \]
求解，通解为：
\[ \begin{equation}\nonumber L(r, t) = f(t - \dfrac{r}{c}) + g(t + \dfrac{r}{c}) \end{equation} \]
点击展开注解：关于上述偏微分方程
\(f\) 和 \(g\) 表示两个独立的函数，方程 \(L(r, t) = f(t - \dfrac{r}{c})\) 可以认为是空间点从质点 \(o\) 出发向外行进的波。
而方程 \(L(r, t) = f(t + \dfrac{r}{c})\) 传统认为在物理学中是不存在的，被认为是从无限远处汇聚到 \(o\) 点的波。
点击展开修正：上式中 \(f\) 或应改为 \(g\)
对于普通介质，似乎是没有这种物理意义的，但是，对于空间这种特殊的介质，却有物理意义的。这个实际上可以解释负电荷的来源，这个以后详细再讲。
以上方程也包含了以 \(o\) 点为中心向四面八方直线运动形式，和从四面八方直线汇聚到 \(o\) 点的运动。这种运动可以看成是螺旋波动的振幅趋近于零的极限情况。
方程 \(\dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial t^2} = c^2\ \dfrac{\partial^2\vec{L}}{\partial r^2}\) 有两个特解 \(L = A\ cos\ [\omega\ (t - \dfrac{r}{c})]\) 和 \(L = A\ sin\ [\omega\ (t - \dfrac{r}{c})]\) 满足这个方程。
上面的波动速度 \(c\) 是光速，时空的波动是横波。
如果考虑运动的连续性，位移 \(\vec{L}\) 在 \(x\) 轴、\(y\) 轴上的分量 \(L_x\) 和 \(L_y\) 合在一起，在 \(z\) 轴的垂直平面上运动形式应该是一个圆。
所以，某些情况下，\(L_x\) 和 \(L_y\) 一个取余弦波，另一个就取正弦波。因此，有下面的圆柱状螺旋时空波动方程：
\[ \begin{align} L_x &= A\ cos\ [\omega\ (t - \dfrac{r}{c})] \nonumber \\ L_y &= A\ sin\ [\omega\ (t - \dfrac{r}{c})] \nonumber \end{align} \]
在统一场论里，引力场是空间振动形成波动的根源，而电磁场是空间振动的传播，传播速度就是光速。